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微细电火花加工数值模拟.rar

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    编号:20180802233207590    类型:共享资源    大小:5.63MB    格式:RAR    上传时间:2018-08-02
      
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    微细 电火花 加工 数值 模拟
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    铝电解槽热磁耦合问题数值模拟Y. Safa *, M. Flueck, J. Rappaz洛桑联邦理工学院,分析与科学计算研究所,瑞士洛桑 1015 第 8 站2006 年 12 月 27 日初稿;2008 年 2 月 4 日修订;2008 年 2 月 8 日被收录;2008 年 2 月 29 日可网上搜索摘要本文运用一系列偏微分方程对铝电解槽的热磁耦合行为进行了数值模拟。热模型被认为是一个由焦耳效应引起的非线性对流扩散热方程组成的两阶段史蒂芬问题。该磁流体动力领域的主导是纳维-斯托克斯方程和静态麦克斯韦方程组。伪进化组合(切尔诺夫)用于获取电解槽仿真壁架的温度和凝固层剖面的稳态解。利用有限元方法的数值算法来获取流体速度,电势,磁感应和温度。同时也利用了迭代算法和三维数值模拟结果。2008 年爱思唯尔公司保留所有权利。关键词:铝电解;切尔诺夫组合;热方程;磁流体力学;壁架;凝固1. 绪论本文研究了由电解槽热磁耦合作用模型引起的相位变化问题。在一个利用霍尔-埃鲁特过程的冶炼池中,金属部分是由三氧化二铝电解融化在熔融冰晶石材质的槽中制造而成的[1]。该电解槽中产生了多种现象,图 1 为一个横截面示意图。电解槽中稳定的电流通过铝液在阳极和阴极棒之间产生。送到槽中的电流产生重要的磁场,该磁场连同电解槽中流通的电流共同产生一个维持这两种导电液体耦合运动的拉氏力量作用域。电解槽中会产生磁流体动力学相互作用。另一方面,由槽体中的电阻率引起焦耳效应,热源也随之产生。冰冻层 冰冻层电解液 阳极块铝液 阴极层图 1. 铝电解槽横截面所谓的壁架在固态槽壁层上建立。这些壁架能够避免电解槽侧壁腐蚀性点解,并降低电解槽热损耗(见[2]第 23 页)。此外,它的轮廓严重影响磁流体动力稳定性,引起铝液和槽体接触面振荡,降低电流效率。因此最佳的层剖面是电解槽侧壁设计的目标之一。冶炼槽内的热凝固问题已经被几个专家解决[3-5]。据我们所知,在热磁耦合上,该问题一直没有被重视。本文的目的是解决类似的耦合问题。我们期待,关于该问题的详细资料记入在萨法论文集[6]。数学上,该问题解决了偏微分方程组、麦克斯韦方程组和纳维-斯托克斯方程组的耦合系统,其中,偏微分方程组包含由焦耳效应引起的热方程,麦克斯韦方程组以导电率作为温度的函数。铝液和和槽体之间的接触面是未知的。壁架被认为是电绝缘体,热模型是静止的两阶段史蒂芬问题。本文大纲如下:第 2 节介绍物理模型,第 3 节给出算法,第 4 节得出数值计算结果。2. 模型为了介绍该模型,我们首先描述一些几何和物理量。2.1. 概括描述几何图形定义如图 1 所示。下面介绍物理符号: :流体和固态层,Ω21 :电极,Ξ :表示电解槽的域ΛΞΩ另外,我们定义如下接触面: :铝液和槽体之间的自由接触面,未知,Γ21 , 1,2,iΣi :电极的外边界。21我们必须处理的未知物理场列举如下:流体动力场: : 中的流速场, 1,2,(固态层中 为 0),uiΩiu :压力。p电磁场: :磁感应场,b :电场,e :电流密度。j热场: :总热能,H :温度。材料属性定义如下: :密度, 与 :槽体内、外导电率,b :流体粘度, :空隙导磁率,0 :热导率,k :比热容,pC : 潜热。2.2. 物理假设该模型需要以下基本假设:1. 各流体不相融,不可压缩,并且遵守牛顿定律。2.在每个域内, , = 1,2,各流体遵守静态纳维-斯托克斯方程组。iΩ3.电磁场满足静态麦克斯韦方程组,此外,欧姆定律应该在整个电解槽内有效。4.槽外的电流密度已知(即阴极棒内的电流)。5.导电率 是液体和电极部分的温度 的函数。6.粘度 ,密度 和比热容 与温度无关。pC7.流体 和固体 的体积为给定值(质量守恒)。1Ω28.电解槽中的流产生的焦耳效应提供唯一的热源。9.忽略化学反应的影响[7],马朗戈尼效应[8,9],表面张力以及气流的存在。2.3. 流体动力学问题在这一部分,我们考虑温度场 和电磁场 ,并且磁感应场 为已知。我们选择jb的用 的参数化形式表示铝液和槽体间的未知Dx,yh:zx,yhΓ接触面,其中 通常是一个与铝阴极界面的参数化相对应的矩形区域。考虑到D,我们用 表示 , 和 的相互关系。hΓ1,2i,Ωii 1Ω2Γ根据假定 7 得出如下关系:, 其中 表示铝的体积。1DVyx,hd1的单位法线指向 ,为 。ΓhΩ2hzzn我们定义水动力场的标准方程组如下:, (1 ) Ωbjgpuu 21indiv, , h21n0i(2), Γhzuo,(3)其中。3,21,,21,Tjiuji这里(.,.)通常是 R3的普通无向积。方程(1)-(3)对应于第 1 和第 2 条假设。我们通过引进包含流体的域 、 的边界条件完成了上述方程组。对于hΩ12任意场 , 表示穿过 的 的跳跃,即 。各域whΓwaluminbathwhΓ中, 和 具体为:up, on0(4), hu(5)。 (6)0D2hnup中的流体部分只是所有域 凝固前的一个子域。为了解决一,1ihi hΩi个固定域 中的流体动力学问题,我们使用包含惩罚函数的“虚拟域”方法。iΩ之后会定义液体和固体中的速度和压力。我们将术语 添加到纳维-斯托ufKs克斯方程, 是温度函数的固相组分。函数 由科泽尼定律给定:sf,321ssfPCfK其中, 为平均孔径, 为通过实验确定的常量(见[10])。修改方程(1)为(7)hΩbjKugzpuu 21inDdiv, 液相状态下 为 0,上述公式简化为一般的纳维-斯托克斯方程。相对于其他状态,糊状区内 可能很大,并且上述方程模拟了达西定律:K。bjgzp当 时,我们得到 ,并且固态区内 为 0。1sf sf u最终得到流体动力学问题 PHD:已知 , 和 ,求得 , 和 ,并且满足以下jbph条件, (8)ΩjKugzpuu 21inD2div, , hΩ21n0i(9), Γuo,(10), Ωn0(11), hu(12), (13)0D2hnp。 1Vyx,hd(14)2.4. 电磁问题我们假定速度场 及温度场 已知。根据法拉第定律,我们令 为 0,电场由ue给定,其中 表示在 中计算得到的电势场。我们仍然用 表示速度的eΛu连续延拓(在 中为 0),同时考虑到安培定律:令 以及欧姆定律:jb0在 中 ,因此,我们给出电守恒定律:Λbuj。Λindiv我们用 表示运算 ,其中 是 的外部单位法线。n,关于电势 ,我们介绍以下边界条件:,Λ\Σno0,2j,1其中 是已知的阳极 外边界电流密度。作为电流 的一个函数,磁感应强度0j2Σj可以利用毕奥-萨伐尔关系求得:b,ΛbjΛ xdyxπ4x030其中 为由槽体外电流产生的某些磁感应场。0b电磁问题 PEM表达如下: 和 已知,通过以下公式求得 , 和uhbj, Λin0div(15), \Σno0(16), 2j0(17), 1Σon0(18), Λbujin(19)。 ΛjbΛ xdyxπ4x030(20)2.5. 温度问题我们假定流体动力场 u和电磁场 j已知。我们正在寻求的稳定解将在这里作为一个随时间变化的热方程被求得。因此,在本小节我们介绍了进化的热模型。在对流扩散问题中,凝固前(固液分界线)的位置事先未知,因此需要作为解法的一部分来确定。该问题被广泛地称为“史蒂芬问题”,并且是高度非线性的。为了克服有关史蒂芬接触面条件的非线性困难,我们定义一个焓函数,它表示每单位体积的物质的总热量。焓可以用温度,潜热 和固相分数 表示,即:sf。 ssCH1d0P(21)由于焓 为单调函数,我们引进函数 ,由以下关系定义:。 (22)函数 是由在 列表中的值经过数学处理(插值法)计算得出的,上述H,列表值与由方程 21 得出的反比关系式 相对应。通过这种关系,我们1H可以将该问题表示成有关温度和焓的史蒂芬问题,形式如下:, ΨuCkt ,divP(23), H(24)该问题是一个非线性对流扩散系统。表达式 用 表示 的数积, 为,uuΨ仅由焦耳效应提供的热源。表达方式如下:。 2Ψ(25)考虑到分配性,温度-焓规划的优势就是仔细跟踪固液界面消除位置的必要性,以及可以用标准数值技术来解决相变问题。温度 遵守罗宾边界条件:, Λnkona(26)其中 是在指向 的单位外法线的方向导数, 是由空间和温度决定热传递 系数, 是 外界温度。热传递是由于对流和辐射。而辐射是由如下表达式间aΛ接考虑: C/mW2321c其中 , 和 是由通过实验估算的正值。1c23的初始条件是假定的。ΛHonx,0对于一个给定的表示积分时间的标量值 ,表达式如下:T。ΛΣTQTT ,0ad, 温度问题 PTh表达如下: , 和 已知,通过以下公式求得 和 :uhj H, TQΨCkt in,divP(27), TQHin(28), Tkona(29)。 0fr,in0tΛH(30)2.6. 完整问题我们刚刚描述了流体力学,电磁和热力学的问题。在每个具体域中,我们都假定其他域已知。我们要解决的问题就是找到同时满足上述三个问题的速度 ,压力 ,电势 ,up焓 和温度 ;函数 , , , , 和 均给定,并且已HHPCx0b0Hsf知常量 , , , , , , 和 。0PCa1V3.数学方法上述的数学问题的数值解是基于一个迭代过程的,在迭代过程中,我们交替进行未知的三种域的计算:流体域 ,电磁域 和热域 。在本节中我们提HDEMTh出了 PHD, PEM和 PTh三种问题的迭代方案。包含用有限元法进行空间离散的全局“伪进化”算法被用来解决三域耦合问题。3.1. 流体动力场计算流体动力学问题通过迭代求解。在每一个求解步骤中,我们首先解决接触面无正常受力平衡条件的固定形状问题,然后利用非平衡法向力更新接触面位置。解决替代应用问题的两个步骤如下: 第一步:通过给定的几何结构 ,并且考虑到接触条件,解决流体动力h学问题如下:,hnuo,0, 为 的切向量,0,D2tpth该问题之后会通过弱公式化简单表达。 第二步:更新接触面位置,以便验证接触面 所受法向力的平衡,通过以下表达式选择 :h:。hzgebjCstenuph,2这里我们用 表示的 Oz 轴的单位向量,用 表示通过以下条件求得的常量:z st。Dyxh0d,利用迭代法计算 , , , 和 ,上述函数的函数值通过之1mup1mCste1mh前的迭代 求得。设定 和 ,并且通过下列表达式定义hn,2gbjfzz,求解步骤 :mSHD,(31 )m21mmm hΩbjKugzpuu inD2div, 111 , 21hΩn0i(32), mmΓuo,1(33), 为 的切向量, (34 )0,D211mhtnupth, (35 )m,, mhΓzfCsteh111 (36)。 0d1yxmD(37)注意到这种算法的停止条件是基于 的规范估计 ,它必须小于公差 。mu11H3.2. 电磁场计算磁感应强度 直接取决于电流 ,间接取决于位势场 ,对于一个已知速度场bj 我们要计算出这些电磁场的值。在求解 的步骤中,我们用迭代法确定 。1mu m迭代法中,利用公式(15)、边界条件(16)-(18)和 的值计算 ,利mb1m用公式(19)相继计算 。随后,我们利用毕奥―萨伐尔定律求得作为1mj的函数的 的值。1mj1b求解步骤 :SEM, in0div11mmu(38), \on 01(39)
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