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09B1-1008102-河北理工大学-丛伟建,鲁芳玲,王璐.pdf

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09 B11008102 河北 理工大学 丛伟建 鲁芳玲 王璐
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全国第六 届研究生数学建模 竞赛题 目枪弹头痕迹自动比对方法的研究摘 要:本文 首先对 枪弹头 痕迹的 影响因 素及测 量数据 做了详 尽分析 , 并在处理由位置和姿态造成的测量误差时将一维搜索中搜索区间的进退法 加以改 进,提 出了适 合处理 本文误 差的搜 索进退 法。其次,分析随机性 误差和噪声,采用 准则判断粗大误差 的存σ3在性 ,并用 加修 正值法 消除该 误差。然后 , 对 弹 痕的特 征进行 提取, 主 要 是对弹 痕截面 曲线进 行分 段二次 拟合, 由 所有 弹痕截面 曲线 组成曲 面, 通 过对 两个弹 头某两 条 次棱的 弹痕曲 面进行 改进的 欧氏距 离计算 , 得 到 两条次 棱的相 似度, 并自行 设计出循 环算法, 实现自动 比对。 最后,利 用该算法对 2 2 颗子弹做 弹痕相 似度比 较,得 到 较满意 的结果 ,该 模 型具有 一定的 通用 性 。关键词 :搜 索进退 法 准则 相似 度σ3参赛队号 1 0 0 8 1 0 2队员姓名 丛伟建 鲁芳玲 王璐参赛密码 (由组委会填写)2枪弹头痕迹自动比对方法的研究一、问题重述枪弹发射后, 弹头 上留下 了枪 管膛线 的擦 痕痕迹 。 枪管有 4 条 凸 膛线共 8个棱, 分 为 4 个主棱和 4 个次棱 。 所以在弹头上留下的痕迹分为 4 片主棱线 的 痕迹 和 4 片次棱线 的痕迹 。 由于枪弹 通过枪管时只旋转了一个很小的角度, 擦 痕 分布成斜线状 ( 与圆柱母线有一个夹角 ) , 每一片痕迹的主要部分都显示为不同大 小和不同深浅的线条。在公安实践中,要根 据弹头上 的痕迹 来判断两 个弹头是 否为同一 支枪发射的。 传统方法是通过显微镜 肉眼观察, 比对两个弹头上的 线条型 痕迹 , 看 这些 线条的粗细分布是否吻合 。 根据实践经验, 对同一支枪发射的两个弹头, 4 个主 棱中通常有一至二个吻合得比较好;而 4 个次棱中通常可以有 2 至 3 个吻合比较 好 。传统做法有两个弱点: 一 是效率极低, 因为很多情况是 “ 似 是 而非 ” 的, 所以对 多个弹头 (例如几十、 几百个) 的比对几乎无法进行; 二是 弹头 样本不易保存, 容易发生锈蚀损坏等情况。现代高精度数据采集设备为自动比对方法创造了条件。自 动比对方法的过 程分 为 两步: 第一步,通过 光学 设备采 集弹 头 上 8 片痕迹的 3 维数据 , 保存为 8个文件 。 测量的基准平面取为固定在测量设备上的空间直角坐标系的 平 面 ,x oy沿 轴方向和沿 轴方向的 测量步长均为 2.75微米, z 的测量 精度为 1 微米, 数x y据的单位是毫米。 由 于数据量很大, 提 供的对应 4 条次棱的数据, 其 顺序是统 一按照一个方向排序, 例 如按照从弹头的底部向头部看去为逆时针方向排序。 这 些数据文件可以 用 Ma t l a b 的数据导入打开,也可以 用写字板打开。每个文件的数据有 40 多万行,每行有 3 列。 每一行的三个数据对应弹头表面 上一个点的 空间坐标 ,第 1 列对应 坐标;第 2 列对应 坐标;第 3 列对应 坐标 。 基 准),,( zyx x y z平面在弹头痕迹的附近,测量时应调节弹头的姿态使得:( 1 )弹头圆柱中心线尽量平行于基准平面;( 2 ) 轴尽量平行于擦痕的走向。弹头的姿态靠人工调y节,所以上述 的两 个平行 都不 是准确 的平 行。 此外,这 4 条次棱的数据 是 分 4次测量的, 所 以它们只能在 4 个独立的空间坐标系中分别显示它们的图像, 没 有一个参照系能使它们 组合成 一个 整体 图像在一个坐标系中显示 。 第二步, 采 用 适当的方法, 通 过电脑比对 , 判别一个弹头与样本弹头的相似程度, 以便 确认发 射该弹头的枪支。 这 个问题很实用, 但 要求达到较高的准确性就很困难。 就此 研 究下面 4 个问题:1. 在 光学设备 上 采集弹头上痕迹的 3 维数据 时,用于采集数据的光源和数据采集仪器是固定不动的,光源在被测弹头的侧上方,感光器在弹头的正上方;弹头由人工固定在支架上, 可 以由人工调节该弹头的位置和姿态 ( 姿态是指弹 头在空间的姿势或状态, 通 常与转动有关) 。 人 工调节很难使两个弹头在同样位 置和同样姿态情况下被测量, 从 而会造成测量误差。 通常会造成 0.03mm 左右的 平3移误差和 0.2o 的转动误差。 第 一个问题是: 如 何处理由位置和姿态造成的测量 误差, 使 得两个弹头可以尽量在相同位置和相同姿态的情况下进行比对。 ( 这里 假设弹头的直径为 7.90mm ,长度约为 12mm )2. 弹头表面的损伤、锈迹、油斑、杂质物及 痕迹生成的随机性 ,会造成数据误差和噪声。第二个问题是:采取怎样的方法去消除这些误差和噪声。3. 文件名以 77 开头的 12 个文件分别是 6 支枪发射的 12 个弹头 ( 每支枪 发射 2 个弹头)的次棱部分的测量数据 , 每个文件包含有 4 个以 c 开头的次棱数据子文件。 数据文件名中的 t 1 和 t 2 分别表示对应同一支枪的 2 个弹头, 其 他数 字是枪支的编号;子文件名中 的 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 分别为同一个弹头的 4 个次棱按固定顺序的编号。第三个问题是:( 1 )依据这些数据,怎样的特征可以用于比对;并给出提取这些特征的方法。( 2 )依据这些数据,采用数据的哪一部分用作比对,其效果比较好。( 3 )给出完整的比对方案、算法,并在电子版附件中给出程序。4. 文件名以 t 开头的 22 个文件分别是另外 11 支枪发射的 22 个弹头(每支枪发射 2 个弹头) 次 棱部分的测量数据, 每 个文件包含有 4 个以 c 开头的次棱 数据子文件,子文件名中的 c 1 , c 2 , c 3 , c 4 的意义同上。第四个问题是:( 1 ) 用解决第三个问题的方法给出这 22 个弹头痕迹两两之间的相似程度 ,并列表表示;( 2 ) 根据( 1 )的结果,用列表的方式给出每个弹头按相似度由高到低给出与之相似的前 5 位的弹头文件号。二、问题分析要处理误差, 首 先需要判断误差是怎样造成的, 本 文中主要需要处理的误 差有两大来源: 一 是人工调节带来的平移误差和转动误差; 二 是由弹头表面损伤 等带来的误差和噪声。这是两种不同性质的误差。对于第一个问题假若平移误差存在,那 么可将该误差分解到三个相互垂直 的坐标上,即 空间直角坐标轴。每 个方向上的误差处理不影响其他方向的数值变 化 。由此降低了误差分析的维数。 考 虑到非线性规划的搜索区间的进退法思想, 在 本问题中, 以其 中一个次棱图像为基准, 构造最小二乘误差函数, 从 一点出发, 按一定步长, 试 图确定出函数值呈现 “ 低 — 最低 — 高 ” 的三个相邻点。 以最低点 作为目标位置点, 将 该位置及其后面的图像平移, 与 基准图像进行比对。 对 于旋 转误差, 将 其分解到三个相互垂直的平面上, 此 时需要同时考虑二维方向相互影 响的变化,可以尝试在平移 的基础上改进搜索法,做出相应的调整。对于第二个问题, 通 常 在已消除系统误差的一切量值的观测中, 所 测数据 中存在时而大时而小, 时 正时负, 没 有确定规律的数值, 这 类误差称为粗大误差 或随机误差,或 者称为噪声。本 文考虑用处理粗大误差的方法处理 弹头表面的损 伤 、锈迹、油斑、杂质物及痕迹生成的随机性数据误差和噪声 。对于第三个问题, 需 要从海量数据中提取能反映子弹头划痕的主要特征。 每一片痕迹的主要部分都显示为不同大小、 不 同深浅的线条, 提 取特征时可以从 这些方面考虑, 同 时要考虑到当前数据能否反映这些特征, 以及 能否用尽量少的 数据反映大部分的特征问题,这样问题三即可得到求解。4对于第四个问题, 在 第三问的基础上, 利 用第三问的模型及算法给出未知 的22 个弹头的相似度,便可排列出其相似度的高低顺序。三、模型假设与约定1. 枪膛的磨损误差不影响弹头相似度比对结果;2. 不同次 棱擦 出 的划 痕 的相 关 性远 低 于同 一 次棱 两 次擦 出 的划 痕 的相关性;3. 由平移或者旋 转造 成的测 量误 差的比 对函 数变化 图像 只存在 一个 波谷,即最小二乘误差函数在其最优值左右分别单调;4. 枪膛的膛线在子弹痕迹最大值的右边5. 所有的观测数据不存在观测误差;6. 题中所给数据真实可信。四、符号说明及名词定义—— 人工调解造成的平移误差;ε—— 人工调解造成的角度误差;α—— 测量步长;d—— 比对的最小二乘误差;δ—— 零向量;0�—— 全 1 列向量;I—— 子弹圆柱体的底面半径 3.95mm ;r—— 子弹头的长度 12mm ;l—— 两个弹痕的相似度;C—— 两个弹头的 4 条弹痕之间的相似度矩阵A—— 矩阵标准差。s—— x 轴上按 0.00275mm步长取值的次数x c ount—— y 轴上按 0.00275mm步长取值的次数y c o u n t五、模型建立与求解5.1 问题一的模型与求解对于人工调节造成的 0.03mm 左右的平移误差,可以分解为 三个方向zyx ,,的平移误差;对于人工调节造成的 0.2° 的转动误差,分为弹头圆柱体绕中心轴的 0.2° 转动误差和弹头圆柱体绕其头部端的转动误差。下面对这些误差分别作分析:55.1.1平移误差处理a . X 轴方向的平移误差观察 X O Z 平面 (如图 1 ), 以左 边图像作为基准图像, 当 产生 的 X 轴方 向ε的误差时,沿 X 轴观测的步长 微米,对于弹痕的成像只是 在 X 轴上有75.2=d个相对位移 ,需要做的是将 弹痕成 像 向 X 轴偏移的反方向 移动一 段接近 于ε ε的距离,从 而降低误差带来的影响,使 得两个弹头比对的位置和姿态得到改进 ( 假如偏移在负方向上,则转换基准图像 ) 。图 1 X 轴方向的平移误差简化图b. Y 轴方向的平移误差观察 Y O Z 平面 (如图 2 ), 以左 边图像作为基准图像, 当 产生 的 Y 轴方 向ε的误差时,弹痕的成像是在 Y 轴上的有个相对位移,需要做的是将弹痕 在此平面的成像向 Y 轴偏移的反方向移动一段接近于 的距离,即 可降低了误差带来 的ε影响 (假如偏移在负方向上,则转换基准图像)。图 2 Y 轴方向的平移误差简化图6c . Z 轴方向的平移误差观察 X O Z 平面 (如图 3 ), 以左 边图像作为基准图像, 当产生 的 Z 轴方 向ε的误差时, 对 于弹痕的成像只是在 Z 轴上的有个相对位移 , 将 弹痕在此平面 的ε成像向 Z 轴偏移的反方向移动一段接近于 的距离,即 可降低了误差带来的影 响ε(假如偏移在负方向上,则转换基准图像)。图 3 Z 轴方向的平移误差简化图d. 处理平移误差以上三类误差的处理原理是 类似的,下 面本文只给 出 Y 方向的偏移的处理方法,其他方向同理。有一种搜索区间的方法叫进退法 [ 5] 中, 其基本思想是从一点出发, 按一定 步长, 试图确定出函数值呈现 “ 高 — 低 — 高 ” 的三个点。 一个方向不成功, 就退 回来沿相反方向搜索。 本 文效仿这种思想, 提 出了适合该问题的搜索进退法。 其 基本思想是首先判断是否需要进行误差处理。 如 果需要进行处理, 截 取一个弹头 的一个曲面图像作为基准 (垂直 Y 轴截取其初始位置的图像), 同 样截取需要比 对的图像,计算其最小二乘误差 ,再将要比对的图像沿 Y 轴方向移动一个步长0δ的距离重新截取图像, 与 基准图像比对, 计 算最小二乘误差 , 通 过比较前 后d 1δ两次最小二乘误差的大小, 来 判断平移的方向和长度, 同 时也要考虑到步长取 值的范围不能超过最大平移误差限度。轴方向平移误差的搜索进退法步骤:Y设 一 个 截 面 上 的 取 值 次 数 为 , 和X x c ount ),(,, 11111 YXZYX均为 的列向量, 分别为来自两个弹头的两条棱 (设 为),(,, 22222 YXZYX 1×x c o u n tA 棱和 B 棱)的三个坐标方向数据向量(函数),121 ))1( ( ×−== x c o u n tdiXX 1)1( ×= x c o u n tIS t e p1 判定是否存在该方向的平移。x7令 ,0)0(2)0(1 �== YY计算其最小二乘误差:;( ) ( )),(),(),(),( )0(222)0(111)0(222)0(1110 YXZYXZYXZYXZ T −−=δ令 ,dIYY == )1(2)0(1 ,0�计算;( ) ( )),(),(),(),( )1(222)0(111)1(222)0(111A YXZYXZYXZYXZ T −−=δ令 ,0, )0(2)1(1 �== YdIY计算。( ) ( )),(),(),(),( )0(222)1(111)0(222)1(111B YXZYXZYXZYXZ T −−=δ若 且 , 这 两条棱在原有坐标系中比对的效果最好, 无 需处理 ;Aδδ <0 Bδδ <0否则,以其中一条棱作为基 准,需要对 另一条棱做 平移调整。 不妨 设 B 的图像比 A 的图像 整 体 向 Y 的正方 向 有 一 定的 偏 移 ( 反方 向 的 可 以 类似 考 虑), 令,转 S t e p2。Aδδ =1S t e p2 试探。令 ,dIkY k )1()1(2 +=+计算:。( ) ( )),(),(),(),( )1(222)0(111)1(222)0(1111 +++ −−= kTkk YXZYXZYXZYXZδS t e p3 比较误差。若 ,转 S t e p4;否则,停止试探,输出结果kk δδ ≤+ 1 kS t e p4 继续试探。令 , 若 ( 为设定的探索的最大范围)转 S t e p2;1:,: 1 +== + kkkk δδ m a xkk ≤ dk m a x否则,停止试探输出结果 。k此时将 B 棱的数据曲线沿 Y 的负方向平移 的长度,比对的效果会最好。k dY 轴上平移误差的搜索进退法的流程图如图 4 所示:8计算 BA δδδ ,,0比较:?BA δδδδ << 00 且无需处理以其中一个为基准,计算,dIkY k )1()1(2 +=+ 1+kδ是否比较: ?kk δδ ≤+ 1 输出 k令1:,: 1 +== + kkkk δδ否是判断 m a xkk ≤是输出 k否图 4 Y 轴上平移误差的搜索进退法计算框图5.1.2转动误差处理a . 绕圆柱中心轴的转动误差观察 X O Z 平面 (如图 5 ), 当 产 生 角度 的绕圆柱中心轴的转动误差时, 对α于弹痕的成像是原图像以原点为中心旋转了 所得, 对 都有影响。 设原坐 标α zx ,为 ,有偏移的坐标为 。存在则存在如下关系式:11 , zx 22 , zx9⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−=ααs i nc os11212zxx zz图 5 绕圆柱中心轴的转动误差简化图b. 以子弹头头部端为中心在 X O Y 平面的转动误差观察 X O Y 平面(如图 6 ), 当以弹头头部端为中心在 X O Y 平面的 转动误α差时, 偏角对 都有影响。设原坐标为 ,有偏移的坐标为 ,则存在yx , 11 , yx 22 , yx如下关系式:⎪⎩⎪⎨⎧=−−=−ααs i n)(c os1212lyyl lxx图 6 以子弹头头部端为中心在 X O Y 平面的转动误差简化图10c . 以子弹头头部端为中心在 Y O Z 平面的转动误差观察 Y O Z 平面(如图 7 ), 当以弹头头部端为中心在 Y O Z 平面的 转动误α差时, 偏角对 都有影响。设原坐标为 ,有偏移的坐标为 ,则存在zy , 11 , zy 22 , zy如下关系式:⎪⎩⎪⎨⎧=−=−−ααs i nc os)(1212lzz lyyl图 7 以子弹头头部端为中心在 Y O Z 平面的转动误差简化图d. 处理转动误差以上三类误差的处理原理是类似的,下面 本文只给出绕圆柱 中心轴的转动误差的处理方法,其他两种情况同理。对上述搜索进退法进行改进, 可 以得到适合本问题的处理方法。 通过调整 X轴方向的位移,计算调整的 角度,从而 计算对应 的 Z 轴方向上的旋转调整,进而计算最小二乘误差,在允许范围内寻找最适合的位置。绕圆柱中心轴的转动误差的 搜索进退法步骤:设一 个截 面 的取 值次 数 为 , 和Y y c ount ),(,, 11111 YXZYX ),(,, 22222 YXZYX均为 的列向量,分别为来自两个弹头的两条棱(设为 A 棱和 B 棱) 的1×y c ount三个坐标方向数据向量(函数),121 ))1( ( ×−== y c o u n tdiYY 1)1( ×= y c o u n tIS t e p 判定是否存在绕圆柱中心轴的转动误差。1′令 ,0)0(2)0(1 �== XX计算其最小二乘误差:;( ) ( )),(),(),(),( 2)0(221)0(112)0(221)0(110 YXZYXZYXZYXZ T −−=δ令 ,rddIXX === 1)1(2)0(1 s i n,,0 β�
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