当前位置:首页>> >>


积分及其应用.rar

收藏

资源目录
    文档预览:
    编号:20181030005209854    类型:共享资源    大小:8.15MB    格式:RAR    上传时间:2018-10-30
    尺寸:148x200像素    分辨率:72dpi   颜色:RGB    工具:   
    5
    金币
    关 键 词:
    积分 及其 应用
    资源描述:
    大连理工大学硕士学位论文非线性波、符号积分及其应用姓名:谢冬梅申请学位级别:硕士专业:应用数学指导教师:张鸿庆20080601大连理工大学硕士学位论文摘 要本文以数学机械化思想和导师张鸿庆教授提出的AC=BD理论为指导,借助于符号计算软件Maple,研究了符号积分和微分方程求解中的一些问题:精确波解、有理积分、微分扩张、初等积分、Liouville定理以及Order函数及其在微分方程中的应用.第一章介绍数学物理机械化和符号积分相关方面的发展,重点介绍微分方程与计算机代数之间的关系.第二章和第三章主要考虑了非线性偏微分方程的精确解.首先介绍了AC=BD模式和C.D对理论.第三章具体研究了这一模式的应用:引入两个相互独立的且含有不同变量的辅助方程,推广了有理展开法.最后举例来展示该方法的有效性,获得了大量的eomplexiton解.第四章介绍符号积分相关的理论,无平方因子分解、Hermite约化、Rothstein—Trager算法以及微分扩张.第五章研究Order函数的理论及其应用.利用Order函数求偏微分方程的精确波解.同时,利用Order函数研究了常微分方程的特殊函数解.最后介绍了Liouville定理及其证明.关键词:数学机械化;AC=BD;孤立子;精确波解;符号积分;Order函数大连理工大学硕士学位论文Nonlinear Waves,Symbolic Integration and Its ApplicationAbstractIn this dissertation,under the guidance of mathematical mechanization and the AC=BDtheory put forward by Prof.Zhang Hongq i ng,and by means of symbolic computation softwareMaple,some topics on symbolic integration and differential equations are studied,includingexact solutions,rational integration,differential extension,elementary integration,LiouvilleTheorem,Order function and its applications to differential equations.Chapter 1 is to introduce the related development of mathematical physics mechanizationand symbolic integration,emphasizing on the relation between differential equations andcomputer algebra.Chapter 2 and 3 are devoted to investigating exact solutions of nonlinear partialdifferential equations.Firstly,the basic theories of AC=BD model and C—D pairs areintroduced.Then,we illustrate them in Chapter 3.We introduce two independentsub-equations with different variables,and study extended rational expansion method.Finally,illustrative examples of complexiton solutions are exhibited.Chapter 4 is to introduce the relative theory of the symbolic integration,includingsquarefree factorization,Hermite reduction,Rothstein-Trager algorithm and differentialextensions.In the last chapter,we study basic theory of order function and its applications.We applyOrder function to nonlinear paaial differential equations for obtaining many exact solutions,and study the solutions of ordinary differential equations in terms of special functions byOrder function.Finally,we introduce the Liouville Theorem and its proof in the paper.Key Words:Mathematics mechanization;AC=BD:Soliton;Exact solutions;Symbolicintegration;Order function大连理工大学硕士学位论文独创性说明作者郑重声明:本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。作者签名:翅之公氇 日期:碰。五:碰l互大连理工大学硕士研究生学位论文大连理工大学学位论文版权使用授权书本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用规定”,同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版,允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索,也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。作者签名: 逊签襁新妣我牡丝年—厶月j厶日大连理工大学硕士学位论文1绪论本章简要综述了数学机械化思想,孤立子和符号积分研究的历史与发展,以及计算机代数与符号计算软件的国内外研究概况.1.1数学机械化思想18世纪中叶,人类知识的动荡导致了第一次工业革命,对人类的文化产生了极大的影响.作为人肌的代替物,出现了以蒸汽机为代表的大机器生产,大大提高了生产效率.如果说工业机器的出现导致的产业革命使人们逐渐实现了体力劳动的机械化,促进了社会生产力的发展,那么本世纪电子计算机的产生,则为人类实现脑力劳动的机械化创造了物质条件,使得人类脑力劳动的机械化成为可能.在目前信息化时代的背景下,数学这一古老而又富于挑战的学科,也面临着同样的问题一如何将人从繁琐而重复的推理计算中解放出来亦成为一个新的亟待解决的问题.在这种需要的促进下,我国著名数学家,首届国家最高科技奖获得者之一,中国科学院院士吴文俊先生提出并开展了数学机械化的研列H】,为数学注入了新的血液.历史上公理化的思想与机械化的思想彼此辉映,贯穿于整个数学历史,对数学的发展都起到了巨大的作用.前者是在现代数学一尤其是纯粹数学中占统治地位的,但是后者也同样发挥了极其重要的作用.如:希尔伯特(Hilbert)所倡导的数理逻辑,为日后计算机设计原理的发展奠定了基础.数学巨匠嘉当(E.Cartan)在微分方程,微分几何及李群(Lie Group)的著作中体现了机械化思想的特色.H.Caftan关于代数拓扑中同调群计算的工作也可视为机械化思想的成功典范.数学机械化首先是算法化,这取决于计算机的有限性、离散性,即机械性的特点;其次是机械化,即保证在计算机上实现相关算法的有效性一这一点较前者更为重要.在功能上,实现数学机械化的软件应该既可以完成人力所难以企及的繁杂计算,同时还可以完成逻辑推理的功能.这就为变数学的脑力劳动为计算机的机械行为创造了可能性,尤其为数学在高科技中的应用提供了有力的手段,也为数学在普通人群中的普及提供了条件.20世纪70年代,吴文俊先生由中国的传统思想出发,从初等几何定理证明入手开始数学机械化方法的研究,不仅将中国传统数学发扬光大,也为国际自动推理的研究开辟了新的前景.吴先生认为:所谓机械化,无非是刻板化和规格化.机械化的动作,由于简单刻板,因而可以让机器来实现,又由于往往需要反复千百万次,超出了人力的可能,因而又不能不让机器来实现.因之,机械化为机器化进而自动化铺平道路,是它们非线性波、符号积分及其应用必不可少的前奏.就这一意义来说,数学中的某些脑力劳动与体力劳动颇有共同之点,它们也同样可以机械化.经过近20年的努力,几何定理自动证明的吴方法及在其影响下产生的一系列重要的新方法,已经发展成有我国特色在国际上领先的数学机械化理论.这一理论不仅在几何定理的机器证明,方程组求解,微分几何,理论物理,力学等领域得到成功应用,还为机器人学,数控技术,几何辅助设计,CAD,计算机视觉等高科技领域提供了有用工具.他引入的非线性代数方程组的吴方法[5]是求解代数方程组精确解最完整的方法之一,已经被成功地用于解决许多问题,并实现在当前流行的符号计算软件中.上世纪80年代,吴先生进一步给出吴微分消元法【6】,提出了吴微分特征列地概念,完善和发展了特征集理论.近年来,数学机械化思想得到了进一步的发展.张景中院士、高小山研究员和周咸青教授【7,8,9】合作提出了基于几何不变量的“消点法”,由此不仅实现了定理证明的机械化,同时使得证明的过程简短可读,为自动推理的研究在理论上起到了极大的推进作用,此外还被用来解决CAD,智能CAI(计算机辅助教学)与机器人中的若干关键理论问题,在理论与应用上具有重要意义.美国数学会“自动定理证明成就奖’’及“J.Mccarthy程序验证奖”得主Boyer称,该工作“是自(六十年代)Slagle与Moses符号积分程序以来自动推理界最重要的一件单独事情“,该工作“在使计算机像具有算术天才那样具有几何天才这一不可避免的过程中将是一座里程碑“;自动推理界权威Loveland在AIMagazine的文章中将这一工作列为近年来自动推理界“重要进展”的第一项,称“在儿何中证明有意义的定理,同时给出可读证明(mM公司Gelemter五十年代的经典工作),近年来才由周咸青,高小山,张景中的几何定理证明器所超过“.在几何自动推理方面,他们提出微分几何自动定理证明的新方法并予以计算机实现,成功地机械化证明了上百个定理并发现了新的结果;给出了Caley-Klein几何的转换定理,大大简化了非欧几何的自动定理证明;解决了Zassenhaus与Maclane公开问题;提出了几何推理的演绎数据库方法;改进了基于搜索的定理证明方法,并第一次用此类方法证明了大量几何定理.吴尽昭研究员、刘卓军研究员【10】将吴代数消元法运用到逻辑中去,较好地解决了逻辑中的一阶定理证明问题.石赫研究员【11】利用吴方法,研究了著名的Yang.Baxter方程解的问题.1978年,张鸿庆教授【12,13,14】提出了偏微分方程求解的构造性的机械化算法,即“AC=BD”方法,证明了非齐次线性算子方程组Au=.厂的一般解为U=Cv+e,其中V满足方程组D’,=g,D是对角矩阵,用代数方法给出了C,D,e的具体构造方法.在“AC=BD,,理论的指导下,运用数学机械化的思想,张鸿庆教授及其课题组成员在微分大连理工大学硕士学位论文方程的代数化和机械化方面做了大量的工作【15。25】,给出了各种弹性力学位移函数和应力函数的机械化算法,成功构造出数学物理中一系列方程的一般解,并借助于代数的理论来构造偏微分方程组的解,使得大批力学问题所对应的偏微分方程组的求解问题在一个统一的框架下得到了解决.最近,张鸿庆教授又提出了C.D对和c—D可积系统的概念p4].另外张鸿庆教授还提出了基于吴微分消元理论的“AC=BD’’模式的微分伪带余除法.根据这一除法,得到了一些非线性微分方程的变换,使方程的形式变得更为简单,进而易于求解.1.2孤立子研究的历史和发展概况这一节介绍孤立子的发现历史、孤立子的性质、作用以及非线性演化方程精确求解的发展概况等.1.2.1孤立子的发现、性质与应用孤立子(Soliton)现象是由英国物理学家J.Scott Russell[26]于1834年最先发现的,他在1844年9月英国科学促进会第14次会议上作了《论波动》的报告,报告中讲述了他于1834年8月在运河里发现了一个波形不变的水团,该水团在一两英里之外的河道转弯处消失了.他凭借物理学家敏锐的观察力意识到这种现象绝非一般的水波运动.之后Russell为了更加仔细地研究这种现象,在实验室里进行了很多实验,也观察到了这样的波一孤立波(Solitary waves).该水波具有浅长的性质,但限于当时的数学理论和科学水平,人们无法从理论上给予这种现象一个圆满的解释,科学家门甚至怀疑孤立波现象是否真正存在.在随后的几年中,Airy、Stokes、Boussinesq[27】和Rayleigh对这种波做了进一步的研究.为了近似地描述孤立波,Boussinesq提出了一个一维非线性发展方程,即Boussinesq方程.但这些工作仍然没有使那些对孤立波感兴趣的科学家们完全信服.尤其是Russell等人观察到的孤立波到底存在于什么样的水波方程中?或者说什么样的水波方程拥有那样的孤波解?这一直困扰着人们.直到1895年Korteweg和de Vries[28】根据流体力学研究了浅水波的运动,在长波近似和小振幅的假设下,求得了单项运动的浅水波方程,即著名的KdV方程.KdV方程的解准确的描述了浅水波的非线性特性:行波速度依赖于其本身的振幅,当两个这样的脉冲波沿着同一方向运动时,波峰高的脉冲波的行进速度快,因此会赶上前面波峰低的波而发生碰撞.然而,这种波是否稳定,两个波碰撞后是否变形,这一直是科学家们感兴趣而又无法证实的问题.因此在没有新的发现之前,KdV方程以及孤立波仍长期处于被埋没之中.非线性波、符号积分及其应用1955年,著名物理学家Fermi、Pasta和Ulam[29】提出了著名的FPU问题,即将64个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦.初始时,这些谐振子的所有能量都集中在一个质点上,即其他63个质点的初始能量为零.经过相当长的时间后,几乎全部的能量又回到了原来的初始分布,这与经典的理论矛盾.当时,由于只在频率空间来考虑问题,未能发现孤立波解,因此该问题未能得到正确的解释.1 962年,Perring和Skyrme[30】在研究基本粒子模型时,对sine.Gordon方程作了数值实验,结果表明:这个方程产生的孤波解碰撞后保持着原来的形状和速度.为了解释FPU问题中的现象,1965年Kruskal和Zabuskyt31】从连续统一体的观点出发考虑FPU问题.在连续的情况下,FPU问题近似地可用KdV方程来描述.他们对KdV方程两个波速不同的孤波解进行研究.若这两个孤波开始分开且波速大的在左边,那么在相互碰撞后,波速大的在右边且保持最初的高度和速度,仅仅发生相位的转移.这两个孤波的碰撞是弹性碰撞,又类似于粒子,因此他们称它为孤立子.孤立子有时也称为孤立波.“孤立子“没有明确的定义,但是它可用来描述一个非线性方程或非线性体系的任意解,若此解满足:1.可表示成一个固定形式的波;2.是局部的、衰变的或在无穷大时变为常数;3.可与其它的孤子进行强烈的相互作用,在相互作用后即使叠加原理成立其形式亦不会改变.总之,Kruskal和Zabusky的这一项研究工作为推动孤立子理论的发展树立了一个重要的里程碑.此后,科学家们对孤立子的研究兴趣和热情便一发难收,在很多学科领域都发现了孤立子运动形态,相应地,在数学上发现了一大批具有孤立子解的非线性发展方程,而且己逐渐建立起系统的研究孤立子的数学物理方法.1.2.2非线性演化方程(组)精确求解的发展情况非线性发展方程的精确解一直受到数学和物理学家们的关注,它们对理论和应用的研究都有重要的价值.然而非线性偏微分方程不同于线性微分方程,没有也不可能有统一的方法求解.近年来,非线性发展方程精确求解取得了一系列重大的进展.人们提出了各种有效的方法来获得方程的精确解,比如,Biicklund变换,Darboux变换,反散射方法,Cole.Hopf变换,Painlev6截断展开,Hirota方法,各种函数展开法等等,在这其中,利用直接的函数展开法获得非线性发展方程的精确解越来越为人们所关注,这主要得益于吴文俊院士提出的代数及微分消元理论.这一理论的不断发展,为处理使用函数展开法时可能出现的复杂代数或微分方程组提供了理论基础.与此同时计算机代数以及大连理工大学硕士学位论文符号计算软件的快速发展,也使得处理复杂繁琐的计算变得更为简单.可以说非线性发展方程精确求解这一古老课题能够在近几年飞速发展,是与数学机械化的快速发展分不开的.1.Bficklund变换和Darboux变换1885年,瑞典几何学家Bficklund[32】在研究负常曲率曲面时,发现sine.Gordon方程l/En=sinu的两个不同解“和甜’之间有如下的关系式甜f’=%一2flsin(竺≠),%7=一%+丢sin(竺≠). (1.2.1)‘p ‘其中∥为参数,这就是著名的Bficklund变换.其特点是:己知sine.Gordon方程的一个解“,由上述一阶方程组就可以得到其另一个新解U’.利用Bficklund变换,可从孤子方程的已知解出发求出新的孤子解,并可进一步以新解作为已知解,可得到方程一系列的解.1973年Wahlqust和Estabrook直接从KdV方程的两个解甜,∥出发,消去这些解的高阶导数,得到联系“与”’的微分方程组,这个方程组就称为WE形式的Bticklund变换.与Bficklund变换同等重要的是Darboux变换.1 882年,Darboux[33】研究了一个一维Schr6dinger方程的特征值问题(元=0)咆-u(x,f)≯=却, (1.2.2)其中U是给定的函数,称为势函数,名是常数,称为谱参数.Darboux发现:若“和≯是满足(1.2.2)的两个函数,对任意给定的常数厶,令f(x)=≯(x,磊),即厂是(1.2.2)当五=凡时的一个解,则由甜’=U+2(in力。,矽7(x,五)=Cx(X,五)一(a,Inf)≯(x,兄),f≠0, (1.2.3)所定义的函数U7,矽’一定满足(1.2.2).(1.2.3)就称为原始的Darboux变换.Darboux变换的基本思想为:用非线性方程的一个解及其Lax对的解,用代数算法及微分运算来获得非线性方程的新解和Lax对相应的解.有时人们将Darboux变换,也称为Bticklund变换,或者称为求Bticklund变换的Darboux方法.1975年,Wadati等人将Darboux变换推广到mKdV和sine.Gordon方程【34】.1986年,中科院院士谷超豪先生将Darboux变换推广到KdV族,ANKS族及(1+2).维,高维方程组,并且将Darboux变换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中【35,36,37】.另外,延拓法及局部高阶切丛法等也能获得Bficklund变换,Bficklund变换可由己知解求得新解,但实际上越向下计算越复杂,这就限制了B冱eklund变换的应用,而不变定理和非线性叠加公式【38,39],则给出了解之间的代数运算.胡星标教授在这方面作了深入
    展开阅读全文
    1
      金牌文库所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
    0条评论

    还可以输入200字符

    暂无评论,赶快抢占沙发吧。

    关于本文
    本文标题:积分及其应用.rar
    链接地址:http://www.gold-doc.com/p-255654.html
    关于我们 - 网站声明 - 网站地图 - 资源地图 - 友情链接 - 网站客服客服 - 联系我们
    [email protected] 2014-2018 金牌文库网站版权所有
    经营许可证编号:浙ICP备15046084号-3
    收起
    展开